Pythagoras

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Pythagoras により Mind Map: Pythagoras

1. Lehre

1.1. Satz des Pythagoras

1.1.1. .

1.1.2. keine schriftlichen Beweise von Pythagoras selbst

1.1.2.1. umstritten ob Pythagoras den Satz wirklich entdeckt und bewiesen hat

1.2. Zahlentheorie

1.2.1. pythagoreisches Zahlentripel

1.2.1.1. drei natürlichen Zahlen, die als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen können

1.3. Begründung der Proportionentheorie

1.3.1. führte Begriff 'lógos' im mathematischen Sinn von „Proportion“ ein

1.3.2. umstritten und nicht nachweisbar

1.4. pythagoreische Neuerung: Lehre von den drei Mitteln

1.4.1. arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel

1.4.2. umstritten und nicht nachweisbar

2. Folgen seiner Tätigkeit

2.1. trug zur wesentlichen Entwicklung der griechischen Mathematik bei

2.2. galt in der Spätantike und im Mittelalter als Begründer der Mathematik

2.3. regte viele zum Weiterforschen an, nicht nur im Bereich der Mathematik

2.3.1. viele Mathematiker nach ihm suchten nach neuen Beweismöglichkeiten

2.3.1.1. Satz des Pythagoras gilt als einer der meist bewiesenen Sätze

2.3.2. besonders seine Anhänger (Pythagoreer) beschäftigten sich weiterhin mit der Mathematik und der Philosophie

2.3.2.1. schrieben ihre Entdeckungen jedoch größtenteils weiterhin Pythagoras zu

2.3.2.2. pythagoreische Zahlen

2.3.3. euklidische Geometrie,die teilweise auf Grundlagen vonPythagoras Entdeckungen aufbaut

2.3.3.1. entdeckte den Höhen- und Kathetensatz und benannte ihn nach Pythagoras

2.3.3.1.1. Höhensatz: h² = p · q

2.3.3.1.2. Kathetensatz: h² + p² = a² q² + h² = b²

3. Einordnung in das Zeitgeschehen

3.1. um 4000 vor Chr.

3.1.1. Mathematik der alten Ägypter und Babylonier

3.1.1.1. Ägypten: Verwendung von Zahlen, einfache Berechnungen, wesentliche Kenntnisse in der Geometrie

3.1.1.2. Babylonien: Wissen in der Arithmetik, Multiplikationstabelle, Wurzelziehen, Annäherung von pi

3.2. von 600 bis 400 v. Chr.

3.2.1. ionische Periode in Griechenland: Thales, Pythagoras und Pythagoreer

3.2.1.1. Grundlagen der griechischen Mathematik

3.2.1.2. Thales

3.2.1.2.1. der Erste, der seine Sätze bewies

3.2.1.2.2. Erkenntnisse zum Kreis

3.2.1.3. Pythagoreer

3.2.1.3.1. Nähere Betrachtungen in der Geometrie

3.2.1.3.2. Untersuchung und Konstruieren von Körpern

3.2.1.3.3. Pythagoreer kannten Tetraeder, Dodekaeder, Würfel und das gleichmäßige Fünfeck

3.2.1.4. Pythagoras

3.2.1.4.1. Satz des Pythagoras

3.3. ab 300 vor Chr.

3.3.1. hellenistische/alexandrinische Periode: Archimedes, Euklid, Appollonis

3.3.1.1. Archimedes

3.3.1.1.1. Flächenberechnung

3.3.1.2. Euklid

3.3.1.2.1. euklidische Geometrie mit Satzgruppe von Pythagoras

3.3.1.2.2. Werk 'Elemente' fasst wichtige Ergebnisse aus der ionischen und athenischen Periode zusammen

3.3.1.3. Appollonis

3.3.1.3.1. Schnitte im Kegel

4. Werke

4.1. keine überlieferbaren Schriften von Pythagoras selbst fündig

4.2. Satz des Pythagoras taucht in bekannten Schriften als Beweis auf

4.2.1. Zhōubì suànjīng Klassische Arithmetik des Chou Gnomon

4.2.2. Elemente - Euklid

4.2.3. New-England Journal of Education Deckblatt - J. A. Garfield, Pons Asinorum

4.2.4. La practica geometriae - Leonardo de Pisa/Fibonacci

5. Beweise anderer Mathematiker

5.1. Scherungsbeweis

5.1.1. Parallelogramm ist zu dem Ausgangsvierecken flächengleich

5.1.1.1. Parallelogramme = zwei Rechtecke

5.1.1.2. Flächen der zwei kleinen Vierecke ergeben zusammen die Fläche des großen Viereckes

5.1.1.3. passen in das große Quadrat

5.2. Beweis nach Bhaskara II

5.2.1. Umformen der Vierecke in Parallelogramme unter Beibehaltung der Höhe

5.2.2. Viereck aus 4 kongruenten Dreiecken und einem Viereck

5.2.3. Berechnung des Flächeninhalts des Vierecks

5.2.3.1. Flächeninhalte der Dreiecke

5.2.3.2. +

5.2.3.3. Flächeninhalt des kleinen Vierecks

5.3. Beweis der Umkehrung

5.3.1. konstruierte Dreieck hat die Schenkellängen a und b

5.3.2. Konstruktion eines zweiten Dreiecks zu einem, welches die Bedingung a² + b² = c² erfüllt

5.3.2.1. nach Satz des Pythagoras entspricht die Hypothenuse √a²+b²

5.3.2.2. haben gleiche Seitenlänge c

5.3.2.2.1. beide Dreiecke sind nach dem ersten Kongruenzsatzes (SSS) kongruent

5.3.2.2.2. auch das erste Dreieck erfüllt die Bedingung a² + b² = c²

5.4. Beweis durch Ergänzung

5.4.1. Zwei Vierecke mit unterschiedlicher Zerlegung

5.4.2. Gleichsetzen der Formeln für die zwei Dreiecke

5.5. Beweis nach J. A. Garfield

5.5.1. durch Verlängerung zweier Seiten eines Dreieckes entsteht ein Trapez

5.5.2. Trapez aus zwei identischen und einem Teildreieck

5.5.2.1. Gleichsetzen von Formel A Trapez mit A Trapez aus Summe der Flächeninhalte der drei Teildreiecken

6. Biographie

6.1. *570 v. Chr. auf Samos

6.1.1. griechischer Name: Πυθαγόρας

6.1.2. Sohn des Mnesarchos (eingewanderter erfolgreicher Kaufmann)

6.2. Pythagoras-Bild stark von Legenden geprägt

6.3. antiker griechischer Philosoph (Vorsokratiker)

6.4. Gelehrter des Philosophen Pherekydes von Syros

6.5. reiste zu Studienzwecken nach Ägypten und Babylonien

6.5.1. Naturwissenschaft

6.5.2. Religion/Philosophie

6.5.3. Musik?

6.6. Pythagoras war gegen Polykrates Alleinherrschaft auf Somas

6.6.1. verließ die Insel 532/531 v. Chr.

6.7. gründete in Kroton, Unteritalien eine Schule

6.7.1. enge Gemeinschaft mit disziplinierter und bescheidener Lebensweise

6.7.1.1. Pythagoreer („pythagoreische Art des Lebens“)

6.8. Konflikt Krotons mit der Stadt Sybaris

6.8.1. 510 v. Chr. Krieg

6.8.2. Pythagoreer & Anhänger gewinnen

6.8.2.1. Unmut der Bürger richtete sich gegen die Pythagoreer

6.9. zieht nach Metapontion (heute Metaponto in der Basilikata)

6.9.1. heiratete Theano, die Tochter eines Philosophen

6.10. †510 v. Chr. in Metapont in der Basilicata

6.10.1. Pythagoreer wandelten sein Haus in ein Demeterheiligtum um