Показательная и логарифмическая функции
Показательная и логарифмическая функции
1. Показательная функция, ее свойства и график
1.1. Функцию вида y=a^x, где а > 0, a≠1, называется показательной функцией.
1.1.1. Рассмотрим св-ва показательной функции при различных значениях параметра а.
1.1.1.1. а>1
1.1.1.1.1. D(f)=(-∞,+∞)
1.1.1.1.2. E(f)=(0;+∞)
1.1.1.1.3. Возрастает
1.1.1.1.4. Непрерывна
1.1.1.2. 0<a<1
1.1.1.2.1. D(f)=(-∞,+∞)
1.1.1.2.2. E(f)=(0;+∞)
1.1.1.2.3. Убывает
1.1.1.2.4. Непрерывна
2. Показательные неравенства
2.1. Определение. Показательными неравенствами называют неравенства вида a^(f(x))>a^(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
2.2. Теорема*.
2.2.1. при a>1:
2.2.1.1. Показательное неравенство a^(f(x))>a^(g(x)) равносильно неравенству того же смысла f(x)>g(x)
2.2.2. при 0<a<1:
2.2.2.1. Показательное неравенство a^(f(x))>a^(g(x)) равносильно неравенству противоположного смысла f(x)<g(x)
2.3. Теорема 1. Если a>1, то неравенство a^x>1 справедливо тогда и только тогда, когда x>0, неравенство a^x<1 справедливо тогда и только тогда, когда x<0.
2.4. Теорема 2. Если 0<a<1, то неравенство a^x>1 справедливо тогда и только тогда, когда x<0; неравенство a^x<1 справедливо тогда и только тогда, когда x>0.
3. Показательные уравнения
3.1. Определение. Показательными уравнениями называют уравнения вида a^(f(x))=a^(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
3.2. Теорема*. Показательное уравнение a^(f(x))=a^(g(x)) (где a>0, a≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).
3.3. Теорема 1. Если а>1, то равенство a^t=a^s справедливо тогда и только тогда, когда t=s.
3.4. Теорема2. Если 0<a<1, то равенство a^t=a^s справедливо тогда и только тогда, когда t=s.
4. Логарифмическая функция, ее свойства и график
4.1. График функции y=log(a)(x) называют логарифмической кривой.
4.1.1. Рассмотрим свойства данной функции при различных значениях параметра а:
4.1.1.1. a>1
4.1.1.1.1. D(f)=(0,+∞)
4.1.1.1.2. не является ни четной, ни нечетной
4.1.1.1.3. возрастает на (0,+∞)
4.1.1.1.4. не ограничена сверху, не ограничена снизу
4.1.1.1.5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
4.1.1.1.6. непрерывна
4.1.1.1.7. E(f)=(-∞,+∞)
4.1.1.1.8. выпукла вверх
4.1.1.2. 0<a<1
4.1.1.2.1. D(f)=(0,+∞)
4.1.1.2.2. не является ни четной, ни нечетной
4.1.1.2.3. убывает на (0,+∞)
4.1.1.2.4. не ограничена сверху, не ограничена снизу
4.1.1.2.5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
4.1.1.2.6. непрерывна
4.1.1.2.7. E(f)=(-∞,+∞)
4.1.1.2.8. выпукла вниз
5. Свойства логарифмов
5.1. Теорема 1. Логарифм произведения двух пложительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. log(a)(bc)=log(a)(b)+log(a)(c).
5.2. Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел, равен разности логарифмов этих числе. log(a)(b:c)=log(a)(b)-log(a)(c).
5.3. Теорема 3. Если a и b - положительные числа, причем a≠1, то для любого числа r справедливо равенство: log(a)(b^r)=r*log(a)(b)
6. Логарифмические уравнения
6.1. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида log(a)(f(x))=log(a)(g(x)), где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
6.2. Теорема*. Пусть a>0 и a≠1, X - решение системы неравенств {f(x)>0, g(x)>0}. Тогда уравнение log(a)(f(x))=log(a)(g(x)) равносильно на множестве Х уравнению f(x)=g(x).
6.3. Методы решений логарифмических уравнений:
6.3.1. Функционально-графический метод. Он основан на графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.
6.3.2. Метод потенцирования. Он основан на теореме равносильности.
6.3.3. Метод введения новой переменной.