Massimizzazione vincolata dell'utilità

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Massimizzazione vincolata dell'utilità por Mind Map: Massimizzazione vincolata dell'utilità

1. Impostare la funzione lagrangiana: L(x,y,λ)=x^α y^β-λ(p_x x+p_y y-I)

1.1. Calcolare le tre derivate parziali: ∂L/∂x=〖αx〗^(α-1) y^β-λp_x=0 ∂L/∂y=βx^α y^(β-1)-λp_y=0 ∂L/∂λ=p_x x+p_y y=I

1.1.1. Ricavare la condizione di tangenza dividendo membro a membro le prime due derivate parziali: (〖αx〗^(α-1) y^β)/(βx^α y^(β-1) )=(λp_x)/(λp_y ) αy/βx=p_x/p_y y=〖βp〗_x/(αp_y )*x

1.1.1.1. Inserire il risultato del punto precedente nel vincolo di bilancio; si ottengono in questo modo le funzioni di domanda marshalliana: p_x x+p_y y=I p_x x+p_y*〖βp〗_x/(αp_y )*x=I p_x x+〖βp〗_x/α*x=I x*(p_x+〖βp〗_x/α)=I x^d=I/((p_x+〖βp〗_x/α) )

1.1.1.1.1. se gli esponenti della funzione d’utilità sommano a uno, abbiamo: β=1-α: x^d=I/((p_x+〖(1-α)p〗_x/α) ) x^d=αI/p_x y=〖βp〗_x/(αp_y )*x; y=〖(1-α)p〗_x/(αp_y )*x y^d=〖(1-α)p〗_x/(αp_y )*αI/p_x =((1-α)I)/p_y

2. Minimizzazione vincolata della spesa

2.1. Impostare la funzione lagrangiana: L(x,y,λ)=p_x x+p_y y-λ(x^α y^β-U_0)

2.1.1. Calcolare le tre derivate parziali: ∂L/∂x=p_x-λ〖αx〗^(α-1) y^β=0 ∂L/∂y=p_y-λβx^α y^(β-1)=0 ∂L/∂λ=x^α y^β=U_0

2.1.1.1. Ricavare la condizione di tangenza dividendo membro a membro le prime due derivate parziali: p_x/p_y =(〖λαx〗^(α-1) y^β)/(λβx^α y^(β-1) ) p_x/p_y =αy/βx y=〖βp〗_x/(αp_y )*x

2.1.1.1.1. Inserire il risultato del punto precedente nel vincolo di utilità, si ottengono le funzioni di domanda compensata o hicksiane. Nota: per semplicità consideriamo il caso β=1-α (gli esponenti della funzione d’utilità sommano a uno) x^α y^β=U_0 y=〖(1-α)p〗_x/(αp_y )*x x^α*((1-α)p_x/(αp_y )*x)^((1-α))=U_0 〖x^c=U〗_0 (α/(1-α) p_y/p_x )^(1-α) y^c=U_0 ((1-α)/α p_x/p_y )^α