Планиметрия (Отдел геометрии, изучающий фигуры на плоскости)

Get Started. It's Free
or sign up with your email address
Rocket clouds
Планиметрия (Отдел геометрии, изучающий фигуры на плоскости) by Mind Map: Планиметрия       (Отдел геометрии, изучающий фигуры на плоскости)

1. Аксиома ( утверждение, принимающееся как истинное без доказательства)

1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, занимающие эту прямую, и точки, не знащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

1.3. Из трех точек на прямой между и другими словами между двумя другими.

1.4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

1.5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равной сумме длинных частей, на которые он разбивается любой его точкой.

1.6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла равной сумме градусных мер углов, на которых он разбивается любым лучом, проходящим между его выходом.

1.7. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно этой полупрямой в этой плоскости.

1.8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2. Основные понятия

2.1. Точка

2.2. Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.

2.3. Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

2.4. Прямая

2.4.1. Перпендикулярные

2.4.2. Параллельные

2.4.2.1. Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали

2.4.3. Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными .

2.4.4. Секущая

2.4.4.1. Секущая - прямая, пересекающая две параллельные прямые

2.4.5. Совпадающие

2.4.5.1. Это такие две прямые, что любая точка, принадлежащая первой прямой, принадлежит также и второй прямой.

3. Угол (часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоско, имеющее общее начало) http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/111.png

3.1. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла а их общее начало – вершиной угла.

3.2. http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/231.png

3.2.1. Углы, <90*, называются острыми

3.3. http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/221.png

3.3.1. Углы, = 90*, называются прямыми

3.4. http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/241.png

3.4.1. Углы, >90* ; <180*, называются тупыми

3.5. http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/121.png

3.5.1. Углы, =180*, называются развёрнутыми

3.6. http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/182.png

3.6.1. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.

3.6.2. Сумма смежных углов равна 180*

3.7. http://youclever.org/website/youclever/var/custom/file/2014/09/202.png

3.7.1. Вертикальные углы - пара углов, у которых вершина общая, а стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.

3.7.2. Вертикальные углы равны

4. Многоугольник (геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная)

4.1. Связанные определения

4.1.1. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

4.1.2. Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.

4.1.3. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

4.1.4. Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.

4.1.5. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

4.2. Свойства

4.2.1. Сумма внутренних углов плоского {\displaystyle n} n-угольника без самопересечений равна {\displaystyle 180^{\circ }(n-2)} 180^{\circ }(n-2).

4.2.2. Число диагоналей всякого {\displaystyle n} n-угольника равно {\displaystyle n(n-3)/2} n(n-3)/2.

4.3. Выпуклый

4.3.1. Четырёхугольник (геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки)

4.3.1.1. Параллелогра́мм (четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg/331px-%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg.png

4.3.1.1.1. Свойства

4.3.1.1.2. Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Rectangle4x5.png

4.3.1.1.3. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/Rhombus.svg/300px-Rhombus.svg.png

4.3.1.1.4. Квадра́т — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны. https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Square_%28geometry%29.svg/120px-Square_%28geometry%29.svg.png

4.3.1.2. Прямоугольнаяhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Trapezoid1.png/120px-Trapezoid1.png

4.3.1.3. Трапе́ция (выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны)

4.3.1.3.1. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

4.3.1.3.2. Виды

4.3.1.3.3. Свойства

4.3.2. Треугольник (геометрическая фигура, образованная три отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой)

4.3.2.1. ∠1, ∠2, ∠3 - внутренние углы △ ABC. Внешний угол треугольника - угол, смежный внутреннему углу треугольника, т.е. ∠4, ∠5 - внешние углы △ ABC при вершине C.

4.3.2.2. Свойства

4.3.2.2.1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180*

4.3.2.2.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним

4.3.2.2.3. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны

4.3.2.2.4. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол

4.3.2.2.5. Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины его третьей стороны

4.3.2.3. Признаки равенства треугольников

4.3.2.3.1. по двум сторонам и углу между ними

4.3.2.3.2. по двум углам и прилежащей стороне.

4.3.2.3.3. по трём сторонам.

4.3.2.4. Виды

4.3.2.4.1. Остроугольныйhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Triangle.Acute.svg/181px-Triangle.Acute.svg.png

4.3.2.4.2. Тупоугольыйhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Triangle.Obtuse.svg/113px-Triangle.Obtuse.svg.png

4.3.2.4.3. Прямоугольныйhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Triangle-right.svg/460px-Triangle-right.svg.png

4.3.2.4.4. Равнобедренныйhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Triangle.Isosceles.svg/74px-Triangle.Isosceles.svg.png

4.3.2.4.5. Равностороннийhttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Triangle-equilateral.svg/505px-Triangle-equilateral.svg.png

4.4. Самопересекающийся

4.5. Невыпуклый

5. Окружность (замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/03/Circle-withsegments.svg/612px-Circle-withsegments.svg.png

5.1. Понятия

5.1.1. Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей.

5.1.2. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой.Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга.

5.1.3. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.Диаметр вдвое больше радиуса: D=2R,} он делит окружность и круг на две равные части и поэтому является их осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды.

5.1.4. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом.Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга

5.1.5. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания.

5.1.6. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.

5.1.7. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

5.2. Свойства

5.2.1. Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.

5.2.2. Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.

5.2.3. При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну из них, равно произведению отрезков другой.

5.2.4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

5.2.5. Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.

5.3. вписанные и описанные фигуры

5.3.1. Описанным около круга многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности.https://cdn.fxyz.ru/img/scribed-polygon/outscribed.png

5.3.2. Паравила

5.3.2.1. Вокруг четырехугольника окружность можно описать только если сумма противоположных углов равна 180°. Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

5.3.2.2. Для треугольника всегда возможны и вписанная окружность и описанная окружность.

5.3.2.3. Для четырехугольника окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы. Из всех параллелограммов только в ромб и квадрат можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении диагоналей.

5.3.2.4. Вокруг трапеции возможно описать окружность или в трапецию можно вписать окружность если трапеция равнобокая.

5.3.3. Вписанным в круг многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности.https://cdn.fxyz.ru/img/scribed-polygon/inscribed.png