Mathematik

Mathematik Themen

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Mathematik by Mind Map: Mathematik

1. Topologie

1.1. Topologischer Raum

1.1.1. offene Menge

1.1.2. Homöomorphismen

1.2. Topologische Gruppe

1.3. Algebraische Topologie

1.4. Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten

2. Numerik

2.1. Algorithmus

2.1.1. Programme

2.1.2. mathematische Maschine

2.1.3. Eigenschaften

2.1.3.1. Determiniertheit

2.1.3.2. Determinismus

2.1.3.3. Feinheit

2.1.3.3.1. statistische Feinheit

2.1.3.3.2. dynamische Feinheit

2.1.3.3.3. Terminiertheit

2.1.3.4. Effektivität

2.2. Numerische Quadratur

2.2.1. Numerische Integration

2.2.1.1. Interpolationspolynom

2.2.1.1.1. Lagrange-Polynom

2.2.1.1.2. Stützstellen

2.2.1.1.3. Newton-Cotes-Formeln

2.2.1.1.4. Gauß-Quadraturformeln

2.2.1.2. Fehlerabschätzung

2.2.1.2.1. Interpolationsgüte

2.2.1.3. Monte-Carlo-Integration

2.3. Numerische Strömungssimulation

2.3.1. Naiver-Stokes-Gleichung

2.3.1.1. nichtlineare partielle Differentialgleichungen

2.3.1.1.1. Turbulenz

2.3.1.1.2. hydrodynamische Grenzschicht

2.3.1.2. Strömung linear-viskoser newton'scher Fluide

2.3.2. Euler-Gleichungen

2.3.2.1. reibungsfreie elastische Fluide

2.3.3. Stokes-Gleichungen

2.3.4. Potentialgleichungen

2.3.5. turbulente Strömungen

2.4. Optimierung

2.4.1. Klassifikation

2.4.1.1. skalare Optimierungsprobleme

2.4.1.1.1. Variationsproblem

2.4.1.1.2. optimales Steuerungsproblem

2.4.1.1.3. lineares Programm

2.4.1.1.4. quadratisches Programm

2.4.1.1.5. nichtlineares Programm

2.4.1.2. Vektoroptimierungsprobleme

2.4.1.2.1. Pareto-Optimierung

2.4.1.3. lineare ganzzahlige Optimierung

2.4.1.3.1. System linearer (Un-)Gleichungen

2.4.1.3.2. Pivotverfahren

2.4.1.3.3. Anwendung

2.4.1.4. nichtlineare Optimierung

2.4.1.4.1. lokal, mit Nebenbedingung

2.4.1.4.2. lokal, ohne Nebenbedingung

3. Stochastik & Statistik

3.1. Wahrscheinlichkeitsrechnung

3.1.1. Wahrscheinlichkeit

3.1.1.1. Zufallsexperiment

3.1.1.1.1. Zufallsvariable

3.1.1.2. Ergebnismenge

3.1.1.3. Teilmenge

3.1.1.4. Elementarereignis

3.1.1.5. Erwartungswert

3.1.1.6. Mengensysteme

3.1.1.6.1. Ereignissystem

3.1.1.6.2. Ereignisraum

3.1.1.6.3. Abbildung

3.1.1.6.4. Wahrscheinlichkeitsmaß

3.1.1.6.5. Wahrscheinlichkeitsraum

3.1.1.7. Axiome von Kolmogorow

3.1.1.7.1. Gegenwahrscheinlichkeit

3.1.1.7.2. leere Menge

3.1.1.7.3. Vereinigung

3.1.1.7.4. abzählbare Ergebnismenge

3.1.1.7.5. überabzahlbare Ergebnismenge

3.2. Deskriptive Statistik

3.2.1. ein Merkmal

3.2.1.1. Methoden

3.2.1.1.1. Tabellen

3.2.1.1.2. Diagramme

3.2.1.1.3. Parameter

3.2.2. mehrere Merkmale

3.2.2.1. Zusammenhangsstrukturen

3.2.2.2. Abhängigkeitsstrukturen

3.2.2.3. Verfahren

3.2.2.3.1. strukturentdeckend

3.2.2.3.2. strukturprüfend

3.2.2.4. graphische Darstellung

3.2.2.4.1. Streudiagramm

3.2.2.4.2. Netzdiagramm

3.2.2.4.3. Andrews Kurven

3.2.2.4.4. Gesichter

3.3. Mathematische Statistik

3.3.1. induktive Statistik

3.3.1.1. Schätzen

3.3.1.1.1. Stichprobe

3.3.1.2. Testen

3.3.1.2.1. (Un-)Gültigkeitshypothese

3.3.1.2.2. Normalverteilung

4. Diskrete Mathematik

4.1. Kodierungstheorie

4.2. Graphentheorie

4.3. Spieltheorie

4.4. Kombinatorik

4.5. Ramseytheorie

4.6. Theoretische Informatik

5. Geometrie

5.1. Geometrische Figuren

5.1.1. Räume

5.1.1.1. Punktmengen

5.1.1.1.1. 2D-Ebene

5.1.1.1.2. 3D-Raum

5.2. Euklidische Geometrie

5.2.1. Definitionen

5.2.1.1. 35 Stück

5.2.1.1.1. Beispiele

5.2.2. Postulate

5.2.2.1. Strecke zwischen Punkten

5.2.2.2. begrenzte Gerade verlängern

5.2.2.3. Kreis aus Mittelpunkt und Abstand

5.2.2.4. rechte Winkel

5.2.2.5. Parallelenpostulat

5.2.3. Axiome

5.2.4. moderne Theorie

5.2.4.1. Hilbert

5.2.4.1.1. Inzidenz

5.2.4.1.2. Ordnung

5.2.4.1.3. Kongruenz

5.2.4.1.4. Parallelenaxiom

5.2.4.1.5. Stetigkeitsaxiom

5.3. Projektive Geometrie

5.3.1. perspektivische Darstellung

5.3.1.1. Axiomensystem

5.3.1.1.1. Punkt

5.3.1.1.2. Gerade

5.3.1.1.3. Inzidenz

5.4. Affine Geometrie

5.5. Synthetische Geometrie

5.6. Analytische Geometrie

5.6.1. Trigonometrie

5.6.1.1. rechtwinklige Dreiecke

5.6.1.1.1. Sinus

5.6.1.1.2. Cosinus

5.6.1.1.3. Tangens

5.6.1.1.4. Kotangens

5.6.1.2. Einheitskreis

5.6.1.3. allgemeine Dreiecke

5.6.1.3.1. Sinussatz

5.6.1.3.2. Cosinussatz

5.6.1.3.3. Tangenssatz

5.6.1.3.4. Halbwinkel-/Kotangenssatz

5.6.1.4. trigonometrischer Pythagoras

5.6.1.5. Additionstheoreme

5.6.2. Vektorrechnung

5.6.2.1. Vektor

5.6.2.1.1. Nullvektor

5.6.2.1.2. Ortsvektor

5.6.2.1.3. Richtungsvektor

5.6.2.1.4. Eigenschaften

5.6.2.2. Rechenoperationen

5.6.2.2.1. Vektoraddition

5.6.2.2.2. Skalarmultiplikation

5.6.2.2.3. Skalarprodukt

5.6.2.2.4. Kreuzprodukt

5.6.2.2.5. Spatprodukt

5.6.2.2.6. Vektorlänge/-betrag

5.6.2.2.7. Tensorprodukt

5.6.2.3. Vektorraum

5.6.2.3.1. Orthonormalbasis

5.6.2.3.2. Standardbasis

5.6.2.3.3. Linearkombination

5.6.3. Koordinatensystem

5.6.3.1. Koordinatengleichung

5.6.3.2. Parametergleichung

5.6.3.2.1. Ortsvektor

5.7. Differentialgeometrie

5.7.1. Mannigfaltigkeit

5.7.1.1. Arten

5.7.1.1.1. topologisch

5.7.1.1.2. differenzierbar

5.7.1.1.3. komplex

5.7.1.1.4. Riemann'sche

5.7.1.1.5. semi-Riemann'sche

5.7.1.1.6. Banach

5.7.1.1.7. Lie-Gruppen

5.7.1.2. Beispiele

5.7.1.2.1. Sphären

5.7.1.2.2. Rechtecke

5.7.1.2.3. Möbius-Band

5.7.1.2.4. Klein'sche Flasche

5.7.2. Koordinatentransformation

5.7.2.1. partielle Ableitungen

5.7.2.1.1. krummlinige Koordinaten

5.7.2.2. Differentialoperatoren

5.7.2.2.1. Laplace-Operator

5.7.2.2.2. Gradient

5.7.2.2.3. Divergenz

5.7.3. Kovariante Ableitung

5.7.3.1. Riemann'sche Räume

5.7.3.2. metrische Fundamentalform

5.7.4. Krümmungstensor

5.8. Darstellende Geometrie

5.8.1. Abbildungsverfahren

5.8.1.1. Parallelprojektion

5.8.1.2. Zentralprojektion

5.8.2. Methoden

5.8.2.1. Projektionen

5.8.2.1.1. Zweitafelprojektion

5.8.2.1.2. Axonometrie

5.8.2.1.3. Architektenanordnung

5.8.2.1.4. Frontalperspektive

5.8.2.2. Durchdringung

5.8.2.3. Eintafelprojektion

5.8.2.3.1. kotierte Projektion

5.8.2.3.2. Dachausmittlung

5.8.2.4. wahre Länge

5.8.2.4.1. wahre Gestalt

5.8.2.4.2. Rekonstruktion

5.8.2.5. Kreis

5.8.2.5.1. Kugel

5.8.2.6. Spiegelungen

6. Analysis

6.1. Funktionen

6.1.1. Folge

6.1.1.1. Monotonie

6.1.1.2. Beschränktheit

6.1.1.3. Grenzwert

6.1.1.4. Konvergenz

6.1.2. Reihe

6.1.2.1. Summenfolge

6.1.2.2. Summen und Vielfache

6.1.2.3. Produkte

6.1.2.4. Assoziativität

6.1.2.5. Kommutativität

6.1.2.5.1. Permutation

6.1.2.5.2. bijektive Abbildung

6.1.2.6. Konvergenz

6.1.2.6.1. absolute

6.1.2.6.2. unbedingte

6.1.2.6.3. Kriterien

6.1.2.7. Anwendungen

6.1.2.7.1. Darstellung mathematischer Konstanten

6.1.2.7.2. Reihen von Funktionen

6.1.3. Grenzwert

6.1.3.1. Konvergenz

6.1.3.2. Divergenz

6.1.3.3. Grenzwertsätze

6.1.3.3.1. Schachtelungssatz

6.1.3.3.2. Kettenregel

6.1.4. Integralrechnung

6.1.4.1. Flächen- und Volumenberechnung

6.1.4.2. (un)bestimmtes Integral

6.1.4.3. Stammfunktion

6.1.4.3.1. partielle Integration

6.1.4.3.2. Integration durch Substitution

6.1.4.3.3. Partialbruchzerlegung

6.1.4.4. Konstruktionen

6.1.4.4.1. Cauchy-Integral

6.1.4.4.2. Riemann-Integral

6.1.4.4.3. Stieltjes-Integral

6.1.4.4.4. Lebesgue-Integral

6.1.4.5. besondere Integrale

6.1.4.5.1. Euler-Integral

6.1.4.5.2. Gauß-Integral

6.1.4.5.3. Fresnel-Integral

6.1.4.5.4. Raabe-Integral

6.1.4.5.5. Frullani-Integral

6.1.4.6. Mehrdimensionale Integrale

6.1.4.6.1. Weg-/Linien-/Kurvenintegral

6.1.4.6.2. (Ober)Flächenintegral

6.1.4.6.3. Volumenintegral

6.1.4.6.4. Gauß'scher Integralsatz

6.1.4.6.5. Satz von Stokes

6.1.5. Differentialrechnung

6.1.5.1. Differenzenquotient

6.1.5.2. Differenzierbarkeit

6.1.5.3. Ableitungsfunktion

6.1.5.4. Ableitungsregeln

6.1.5.4.1. konstante Funktion

6.1.5.4.2. Faktorregel

6.1.5.4.3. Summenregel

6.1.5.4.4. Produktregel

6.1.5.4.5. Quotientenregel

6.1.5.4.6. Reziprokenregel

6.1.5.4.7. Potenzregel

6.1.5.4.8. Kettenregel

6.1.5.4.9. Umkehrregel

6.1.5.4.10. logarithmische Ableitung

6.1.5.4.11. Ableitung Potenzfunktionen

6.1.5.4.12. Leibniz-Regel

6.1.5.5. Fundamentalsatz der Analysis

6.1.5.6. Mittelwertsatz der Differentialrechung

6.1.5.7. Notationen

6.1.5.7.1. Lagrange

6.1.5.7.2. Newton

6.1.5.7.3. Leibniz

6.1.5.7.4. Euler

6.1.5.8. Anwendungen

6.1.5.8.1. Extremwerte

6.1.5.8.2. horizontale Tangenten

6.1.5.8.3. Kurvendiskussion

6.1.5.9. Taylorreihe

6.1.5.10. mehrdimensionale Ableitungen

6.1.5.10.1. partielle Ableitungen

6.1.5.10.2. implizite Differentiation

6.1.5.10.3. totale Differenzierbarkeit

6.1.5.10.4. Satz von Schwarz

6.2. Funktionentheorie

6.2.1. komplexe Analysis

6.2.1.1. komplexwertige Funktionen

6.2.1.2. holomorphe Funktionen

6.2.1.3. Cauchy-Integralformel

6.2.1.4. Singularitäten

6.3. Funktionalanalysis

6.3.1. Variationsrechnung

6.3.1.1. Euler-Lagrange-Gleichungen

6.3.2. Hilbertraum

6.4. Dynamische Systeme

6.4.1. Differentialgleichungen

6.4.1.1. gewöhnliche Differentialgleichungen

6.4.1.2. partielle Differentialgleichungen

6.4.1.3. Lösungsmethoden

6.4.1.3.1. Lie-Theorie

6.4.1.3.2. Existenz und Eindeutigkeit

6.4.1.3.3. Approximation

6.4.2. Chaostheorie

6.4.2.1. Quantentheorie

6.4.2.1.1. Determinismus und Unschärfe

6.4.2.2. Phasendiagramme

7. Algebra

7.1. Elementare Algebra

7.1.1. Variable

7.1.2. Term

7.1.3. (Un)Gleichungen

7.1.3.1. Lineare Gleichungen

7.1.3.2. Lineare Gleichungssysteme

7.1.3.3. Quadratische Gleichungen

7.1.3.4. Exponentialgleichungen

7.1.3.5. Logarithmusgleichungen

7.1.3.6. Wurzelgleichungen

7.2. Abstrakte Algebra

7.2.1. Algebraische Strukturen

7.2.1.1. Gruppen

7.2.1.2. Ringe

7.2.1.3. Körper

7.2.1.4. Vektorräume

7.2.2. Homomorphismen

7.2.3. Kongruenzrelationen

7.2.3.1. Äquivalenzrelationen

7.2.3.2. Äquvalenzklassen

7.3. Galoistheorie

7.4. Lineare Algebra

7.4.1. Vektorraum

7.4.1.1. Lineare Abbildung

7.4.1.2. Basis

7.4.1.3. Euklidischer Vektorraum

7.4.1.4. Normierter Raum

7.4.1.5. Prähilbertraum

7.4.1.6. Topologischer Vektorraum

7.4.1.7. Unitärer Raum

7.4.2. Tensor

7.4.2.1. Tensorraum

7.4.2.1.1. Isomorphismus

7.4.2.2. Tensorprodukt

7.4.2.2.1. Kronecker-Delta

7.4.2.2.2. Epsillon-Tensor

7.4.3. Lineare Gleichungssysteme

7.4.3.1. Matrixschreibweise

7.4.3.1.1. Determinante

7.4.3.1.2. Invertierung

7.4.3.1.3. Eigenwerte

7.4.3.1.4. Diagonalisierung

7.4.3.2. Lösbarkeit

7.4.3.2.1. Lösbarkeitskriterien

7.4.3.2.2. Lösungsmenge

7.4.3.2.3. Koeffizientenmatrix

8. Grundlagen

8.1. Philosophie der Mathematik

8.1.1. Realismus

8.1.2. Platonismus

8.1.3. Materialismus

8.1.4. Logizismus

8.1.5. Formalismus

8.1.6. Deduktivismus

8.1.7. Strukturalismus

8.2. Metamatemathik

8.2.1. vollständiges widerspruchfreies Axiomensystem

8.3. Zahlen

8.3.1. Grundrechenarten

8.3.1.1. Addition

8.3.1.2. Subtraktion

8.3.1.3. Multiplikation

8.3.1.4. Division

8.3.2. Vergleiche

8.3.2.1. kleiner/größer

8.3.2.2. Ordnungsrelation

8.3.3. Stellenwertsystem

8.3.3.1. Grundbegriffe

8.3.3.1.1. Basis

8.3.3.1.2. Ziffernvorrat

8.3.3.1.3. Stelle

8.3.3.1.4. Stellenwert

8.3.3.2. Darstellungsform

8.3.3.2.1. natürliche Zahlen

8.3.3.2.2. ganze Zahlen

8.3.3.2.3. rationale Zahlen

8.3.3.2.4. reelle Zahlen

8.3.3.3. Berechnung

8.3.3.3.1. Ziffernwert

8.3.3.3.2. Stellenzahl

8.3.3.3.3. Ziffern hinzufügen

8.3.4. Zahlentheorie

8.3.4.1. Elementare oder arithmetische Zahlentheorie

8.3.4.1.1. Eigenschaften ganzer Zahlen

8.3.4.1.2. Satz von Fermat

8.3.4.1.3. Satz von Euler

8.3.4.1.4. Satz von Wilson

8.3.4.1.5. chinesischer Restsatz

8.3.4.1.6. euklidischer Algorithmus

8.3.4.1.7. Primzahl

8.3.4.2. Analytische Zahlentheorie

8.3.4.2.1. Dirichletreihe

8.3.4.2.2. Multiplikative Zahlentheorie

8.3.4.2.3. Theorie der Charaktere

8.3.4.2.4. additive Zahlentheorie

8.3.4.2.5. diophantische Approximation und transzendente Zahlen

8.3.4.2.6. Analyse von Algorithmen

8.3.4.2.7. Riemann'sche Vermutung

8.3.4.3. Algebraische Zahlentheorie

8.3.4.3.1. quadratischer Reziproksatz

8.3.4.3.2. homologische Algebra

8.3.4.3.3. Klassenkörpertheorie

8.3.4.3.4. Iwasawa-Theorie

8.3.4.3.5. Großer Satz von Fermat

8.3.4.4. Algorithmische Zahlentheorie

8.3.4.4.1. Primzahltest

8.3.4.4.2. Faktorisierungsverfahren

8.3.4.5. Anwendung der Zahlentheorie

8.3.4.5.1. Kryptographie

8.3.4.5.2. Codierungstheorie

8.4. Logik

8.4.1. Mengenlehre

8.4.1.1. Zusammenfassung von Objekten

8.4.1.2. Definitionen

8.4.1.2.1. aufzählende Notation

8.4.1.2.2. beschreibende Notation

8.4.1.2.3. Menge

8.4.1.2.4. Teilmenge

8.4.1.2.5. Leere Menge

8.4.1.2.6. Schnittmenge

8.4.1.2.7. Vereinigungsmenge

8.4.1.2.8. Mengengleichheit

8.4.1.2.9. Differenz und Komplement

8.4.1.2.10. symmetrische Differenz

8.4.1.2.11. Potenzmenge

8.4.1.2.12. geordnetes Paar

8.4.1.2.13. kartesisches Produkt

8.4.1.2.14. Relationen und Funktionen

8.4.1.2.15. Quotientenmenge

8.4.1.2.16. natürliche Zahlen

8.4.1.2.17. Mächtigkeit und Kardinalzahl

8.4.1.3. Gesetzmäßigkeiten

8.4.1.3.1. Relationen

8.4.1.3.2. Schnitt und Vereinigung

8.4.2. Modelltheorie

8.4.2.1. Klassifikation von Strukturen/Strukturklassen

8.4.2.2. Gödel'scher Vollständigkeitssatz

8.4.2.3. Kompaktheitssatz

8.4.2.4. Satz von Löwenheim-Skolem

8.4.3. Beweistheorie

8.4.3.1. Existenzbeweis

8.4.3.1.1. konstruktiv

8.4.3.1.2. nicht-konstruktiv

8.4.3.2. Beweismethoden

8.4.3.2.1. direkter Beweis

8.4.3.2.2. indirekter Beweis

8.4.3.2.3. vollständige Induktion

8.4.3.2.4. vollständige Fallunterscheidung

8.4.3.2.5. Diagonalverfahren

8.4.3.2.6. Schubfachprinzip

8.4.3.2.7. transfinite Induktion

8.4.4. Rekursionstheorie

8.4.4.1. Berechenbarkeit mit "mathematischer Maschine"

8.5. Axiome

8.5.1. Körperaxiome

8.5.1.1. Anordnungsaxiom

8.5.1.2. Vollständigkeitsaxiom

8.5.2. Parallelenaxiom

8.5.3. Peano-Axiom